我们如何在私人浏览模式下打开链接?

这取决于用户。你不能强迫用户以私有浏览模式打开浏览器。

HTML和Javascript用于各种各样的程序，包括浏览器。即使在浏览器中，也只有少数浏览器具有私有/隐身模式。所以不可能有一个原生的HTML/Javascript特性来针对私人浏览模式。