可靠选择框是'；不起作用

我是AJAX的新手，我在这个页面上找到了解决问题的代码，但我无法使其工作。

当我在选择#producto中选择一个选项时，我需要改变输入#precio。

我有这个代码：

<form action="actualizarprod_pr.php" method="post">
    <input type="text" name="producto" value="" placeholder="Producto" list="productolist" />
    <datalist id="productolist">
        <select id="productos" style="display: none;">
            <?php
             $query = "SELECT * FROM lista_precios";
                $query_ej = mysqli_query($conexion, $query);
                while($registro = mysqli_fetch_array($query_ej)){
                    echo "<option value='" . $registro['producto'] .
                         "'</option>";
                }
             ?>
        </select>
    </datalist>
    <input type="text" id="precio" name="precio" placeholder="Precio">
    <input type="submit" name="Actualizar" value="Actualizar">
    <input type="submit" name="Borrar" value ="Borrar">
</form>

脚本：

 <script type="text/javascript">
     $(document).ready(function(){
         $("#productos").change(function(){
             var producto=$(this).val();
                 $.ajax({
                     type:"post",
                     url:"cargaselect.php",
                     data:"producto="+producto,
                     success:function(data){
                          $("#precio").val(data);
                     }
                 });
            });
        });
</script>

cargaselect.php:

<?php
    session_start();
    include("conexion.php");
    if(isset($_SESSION["id_usuario"])){ 
        $producto=$_POST["producto"];
        $result = mysqli_query($conexion, 
            "select * FROM lista_precios WHERE producto =". $producto ." ");
        echo $result[precio];
    } else {
        header("location: login.php"); 
    }
?>